日々の破片
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2013-10-12
_ 循環小数の謎
マジ感動した！！ / “小学生でもわかる計算だけで 0.9999…… が 1 な事を説明を読んで、学が乏しいおれは不思議になる。
0.11111...に置き換えて考えてみる。
0.1111... - 0.011111... = 0.1
で、0.111... をxに置き換えると、x - x/10 = 0.1
10x - x = 1
9x = 1
確かに、0.111..に9を掛けた0.999...は1なので整合性は取れている。
0.555...でやってみる。
x - x/10 = 0.5
9x = 5
トートロジーだった。
そこでふと気づくが、0.999...って有理数じゃないじゃん。そりゃ無理がきくのも当然か。
でも、なんだこの数は（数の紳士録）では紹介されてないや。
何だ この数(すう)は?(F. ル・リヨネ)ジェズイットを見習え |
小数表記の定義から、あらゆる有限小数には、0でない最後の桁を1つ減らしてその後に9を無限に続けるという「別バージョンの表記」がある、ということは直接出てくるので、「0.999....という数」が1とは別に存在するわけではない、と理解しています。<br><br>有理数を正則連分数で表記する時、最後の分母が1でない形とそうでない形の2つがある (e.g. 2/3 は 1/(1 + 1/2) とも 1/(1 + 1/(1 + 1/1)) とも書ける) っていうのと同型の話で、ひとつのものを表記するやり方が複数あるというだけだと。なので引き算による説明もトートロジーですね。
おお、なるほど。別バージョンの定義があって、（定義である以上）整合性がとれるように定義されている、と理解しました（合ってるかな）。それがここでは0.999...と1.0なので何か特別な印象を持ててしまう（少なくとも僕は）ということなのか。