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日々の破片

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2013-10-12

_ 循環小数の謎

マジ感動した!! / “小学生でもわかる計算だけで 0.9999…… が 1 な事を説明を読んで、学が乏しいおれは不思議になる。

0.11111...に置き換えて考えてみる。

0.1111... - 0.011111... = 0.1

で、0.111... をxに置き換えると、x - x/10 = 0.1

10x - x = 1

9x = 1

確かに、0.111..に9を掛けた0.999...は1なので整合性は取れている。

0.555...でやってみる。

x - x/10 = 0.5

9x = 5

トートロジーだった。

そこでふと気づくが、0.999...って有理数じゃないじゃん。そりゃ無理がきくのも当然か。

でも、なんだこの数は(数の紳士録)では紹介されてないや。

何だ この数(すう)は?(F. ル・リヨネ/滝沢 清)

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_ shiro (2013-10-12 14:42)

小数表記の定義から、あらゆる有限小数には、0でない最後の桁を1つ減らしてその後に9を無限に続けるという「別バージョンの表記」がある、ということは直接出てくるので、「0.999....という数」が1とは別に存在するわけではない、と理解しています。<br><br>有理数を正則連分数で表記する時、最後の分母が1でない形とそうでない形の2つがある (e.g. 2/3 は 1/(1 + 1/2) とも 1/(1 + 1/(1 + 1/1)) とも書ける) っていうのと同型の話で、ひとつのものを表記するやり方が複数あるというだけだと。なので引き算による説明もトートロジーですね。

_ arton (2013-10-12 19:45)

おお、なるほど。別バージョンの定義があって、(定義である以上)整合性がとれるように定義されている、と理解しました(合ってるかな)。それがここでは0.999...と1.0なので何か特別な印象を持ててしまう(少なくとも僕は)ということなのか。


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